Объём тела (окончание)

Рассмотрим тело, составленное из нескольких тел так, что внутренние области этих тел не имеют общих точек (рис. 347). Ясно, что объём всего тела складывается из объёмов составляющих его тел. Итак,

Рис. 347

2⁰. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Свойства 1⁰ и 2⁰ называются основными свойствами объёмов. Напомним, что аналогичными свойствами обладают длины отрезков и площади многоугольников.

Для нахождения объёмов тел в ряде случаев удобно пользоваться теоремой, получившей название принцип Кавальери¹.

¹ Кавальери Бонавентура (1598—1647) — итальянский математик.

Поясним, в чём состоит этот принцип. Рассмотрим два тела, заключённые между двумя параллельными плоскостями α₁ и α₂ (рис. 348). Допустим, что любая плоскость, расположенная между плоскостями α₁ и α₂ и параллельная им, пересекает оба тела так, что площадь сечения первого тела в k раз больше площади сечения второго тела, причём число k — одно и то же для любой такой секущей плоскости. В этом случае, согласно принципу Кавальери, объём первого тела в k раз больше объёма второго тела.

Рис. 348

Доказательство теоремы, выражающей принцип Кавальери, основано на понятии определённого интеграла, которое будет введено в 11 классе в курсе алгебры и начал математического анализа. Мы примем эту теорему без доказательства.

<<< К началу